2. 考研
  3. (2009年)设y＝y(χ)在区间(－π，π)内过点()的光滑曲线．当－π＜χ＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤χ＜π时，函数y(χ)满足y〞＋y＋χ＝0．求函数y(χ)的表达式．

(2009年)设y＝y(χ)在区间(－π，π)内过点()的光滑曲线．当－π＜χ＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤χ＜π时，函数y(χ)满足y〞＋y＋χ＝0．求函数y(χ)的表达式．

admin2019-08-01  105
问题 (2009年)设y＝y(χ)在区间(－π，π)内过点()的光滑曲线．当－π＜χ＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤χ＜π时，函数y(χ)满足y〞＋y＋χ＝0．求函数y(χ)的表达式．
选项
答案曲线在(χ，y)处的法线方程为 Y－y＝－[*](X－χ) 由于当－π＜χ＜0时，法线过原点，所以有y＝－[*]．由此可得，y2＝－χ2＋C． 因为点([*])在曲线上，所以C＝π2， 则所求曲线为χ2＋y2＝π2(－π＜χ＜0)． 当0≤χ≤π时，由y〞＋y＋χ＝0解得，y＝C1cosχ＋C2sinχ－χ 由于曲线是光滑的，则 y(0－0)＝y(0＋0)，y′-(0)＝y′+(0) 而y(0－0)＝π，y(0＋0)＝C1，则C1＝π． y′-＝(0)＝0，y′+(0)＝C2－1，则C2＝1 故[*]
解析
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考研数学二

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