计算三重积分 其中积分区域Ω为x2+y2+z2≤1.

admin2017-05-31  21

问题 计算三重积分
其中积分区域Ω为x2+y2+z2≤1.

选项

答案利用三重积分的对称性. 因为积分区域Ω为空间中的单位球体,即积分区域关于坐标原点对称,且被积函数关于积分变量z是奇函数,故三重积分[*]

解析 因为积分区域Ω为空间中的单位球体,故采用球坐标计算较直角坐标、柱坐标更为容易.
当积分区域Ω的边界曲面为球面、圆锥面,或被积函数为f(x2+y2+z2)时,三重积分应采用球坐标变换的换元公式

此时,应注意确定变量r、φ、θ的取值范围.
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