设y(x)是微分方程y’’+(x+1)y’+x2y=ex的满足y(0)=0，3,y’(0)=1的解，并设存在且不为零，则正整数k=，该极限值=．

admin2014-06-11 74

问题设y(x)是微分方程y^’’+(x+1)y^’+x²y=e^x的满足y(0)=0，3,y^’(0)=1的解，并设

存在且不为零，则正整数k=________，该极限值=________．

选项

答案[*]

解析由y(0)=0知，所求极限为

型．

由初始条件y^’(0)=1，若k=1，则上述极限为0，不符，故k≥2．

但y^’’(0)=[e^x一(x+1)y^’－x²y]_x=0=0，若k=2，则上式极限为0．不符．故k≥3．

但y^’’’(0)=[(e^x一(x+1)y^’一x²y)^’]_x=0=[e^x一y^’－(x+1)y^’’一2xy一x²y^’]_x=0=0.若k=3,则上式极限为0，不符，故k≥4．

但y⁽⁴⁾(0)=[e^x一y^’’一y^’’一(x+1)y^’’’一2y一4xy^’一x²y^’’]_x=0=1。故知当k=4时．
原式

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考研数学一

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