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设有向量组(I):α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,-1,a+2)T和向量组(Ⅱ):β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T. 当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)等价?
设有向量组(I):α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,-1,a+2)T和向量组(Ⅱ):β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T. 当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)等价?
admin
2013-04-04
85
问题
设有向量组(I):α
1
=(1,0,2)
T
,α
2
=(1,1,3)
T
,α
3
=(1,-1,a+2)
T
和向量组(Ⅱ):β
1
=(1,2,a+3)
T
,β
2
=(2,1,a+6)
T
,β
3
=(2,1,a+4)
T
.
当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)等价?
选项
答案
对(α
1
,α
2
,α
3
:β
1
,β
2
,β
3
)作初等行变换,有 (α
1
,α
2
,α
3
:β
1
,β
2
,β
3
)=[*] [*] 当a≠-1时,行列式丨α
1
,α
2
,α
3
丨=a+1≠0,由克莱姆法则,知三个线性方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β
i
(i=1,2,3) 均有唯一解. 所以,β
1
,β
2
,β
3
可由向量组(I)线性表出. 由于行列式 丨β
1
,β
2
,β
3
丨=[*] 方程组x
1
β
1
+x
2
β
2
+x
3
β
3
=β
j
(j=1,2,3))恒有唯一解,即α
1
,α
2
,α
3
总可由向量组(Ⅱ)线性表出. 因此,当n≠-1时,向量组(I)与(Ⅱ)等价.
解析
所谓向量组(I)与(Ⅱ)等价,即向量组(I)与(Ⅱ)可以互相线性表m.若方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β有解,即β可以由α
1
,α
2
,α
3
线性表出.若对同一个a,三个方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β
i
(i=1,2,3)均有解,即向量组(Ⅱ)可以由(I)线性表出.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/xX54777K
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考研数学一
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