2. 考研
  3. 设有向量组(I)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，-1，a+2)T和向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T． 当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)等价?

设有向量组(I)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，-1，a+2)T和向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T． 当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)等价?

admin2013-04-04  65
问题 设有向量组(I)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，-1，a+2)T和向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．
当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)等价?
选项
答案对(α1，α2，α3 :β1，β2，β3)作初等行变换，有 (α1，α2，α3 :β1，β2，β3)=[*] [*] 当a≠-1时，行列式丨α1，α2，α3丨=a+1≠0，由克莱姆法则，知三个线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=βi(i=1，2，3) 均有唯一解． 所以，β1，β2，β3可由向量组(I)线性表出． 由于行列式 丨β1，β2，β3丨=[*] 方程组x1β1+x2β2+x3β3=βj(j=1，2，3))恒有唯一解，即α1，α2，α3总可由向量组(Ⅱ)线性表出． 因此，当n≠-1时，向量组(I)与(Ⅱ)等价．
解析 所谓向量组(I)与(Ⅱ)等价，即向量组(I)与(Ⅱ)可以互相线性表m．若方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有解，即β可以由α1，α2，α3线性表出．若对同一个a，三个方程组x1α1+x2α2+x3α3=βi(i=1，2，3)均有解，即向量组(Ⅱ)可以由(I)线性表出．
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考研数学一

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