2. 考研
  3. 设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)的前n-1个列向量线性相关，后n-1个列向量线性无关，且α1+α2+…+(n-1)αn-1-0，b=α1+α2+…+αn． (1)证明方程组AX=b有无穷多个解； (2)求方程组AX=b的通解．

设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)的前n-1个列向量线性相关，后n-1个列向量线性无关，且α1+α2+…+(n-1)αn-1-0，b=α1+α2+…+αn． (1)证明方程组AX=b有无穷多个解； (2)求方程组AX=b的通解．

admin2021-11-15  23
问题 设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)的前n-1个列向量线性相关，后n-1个列向量线性无关，且α1+α2+…+(n-1)αn-1-0，b=α1+α2+…+αn．
(1)证明方程组AX=b有无穷多个解；
(2)求方程组AX=b的通解．
选项
答案(1)因为r(A)=n-1，又b=α1+α2+…+αn，所以r([*])=n-1， 即r(A)=r(A)=n-1＜n，所以方程组AX=b有无穷多个解． (2)因为α1+2α2+…+(n-1)αn-1=0，所以α1+2α2+…+(n-1)αn-1+0αn=0， 即齐次线性方程组AX=0有基础解系ξ=(1，2，…，n-1，0)T， 又因为b=α1+α2+…+αn，所以方程组AX=b有特解η=(1，1，…，1)T， 故方程组AX=b的通解为 kξ+η=k(1，2，…，n，-1，0)T+(1，1，…，1)T(k为任意常数)．
解析
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考研数学二

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