设f(x)二阶连续可导，且曲线积分∫[3f’(x)一2f(x)+xe2x]ydx+f’(x)dy与路径无关，求f(x)．

admin2016-10-13 64

问题设f(x)二阶连续可导，且曲线积分∫[3f’(x)一2f(x)+xe^2x]ydx+f’(x)dy与路径无关，求f(x)．

选项

答案因为曲线积分与路径无关，所以有 f"(x)=3f’(x)一2f(x)+xe^2x，即f"(x)一3f’(x)+2f(x)=xe^2x，由特征方程λ一3λ+2=0得λ₁=1，λ₂=2，则方程f"(x)一3f’(x)+2f(x)=0的通解为f(x)=C₁e^x+C₂e^2x，令特解f₀(x)=x(ax+b)e^2x，代入原微分方程得a=[*]，b=一1，故所求f(x)=C₁e^x+C₂e^2x+([*]一x)e^2x．

解析

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考研数学一

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设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，(a，b)内可导，证明存在ε∈(a，b)使得[f(b)－f(a)]gˊ(ε)＝[g(b)－g(a)]fˊ(ε)
求下列不定积分：
设f(x)在(－∞，+∞)上可导，(1)若f(x)为奇函数，证明fˊ(x)为偶函数；(2)若f(x)为偶函数，证明fˊ(x)为奇函数；(3)若f(x)为周期函数，证明fˊ(x)为周期函数．
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