2. 考研
  3. 设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0，f(c)＜0，(a＜c＜b)．证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，便f’’(ξ)＞0；

设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0，f(c)＜0，(a＜c＜b)．证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，便f’’(ξ)＞0；

admin2016-10-20  55
问题 设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0，f(c)＜0，(a＜c＜b)．证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，便f’’(ξ)＞0；
选项
答案由于a＜c＜b，由已知条件可知f(x)在[a，c]与[c，b]上都满足拉格朗日中值定理的条件，故存在点ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使 f(c)-f(a)=f’(ξ1)(c-a)， ξ1∈(a，c)； f(b)-f(c)=f’(ξ2)(b-c)， ξ2∈(c，b)． 由于f(a)=f(b)=0，于是有 f(c)=f’(ξ1)(c-a)， ① -f(c)=f’(ξ2)(b-c)． ② 由于c-a＞0，b-c＞0，f(c)＜0，因此由式①、②可知 f’(ξ1)＜0，f’(ξ2)＞0． 由已知条件知f’(x)在[ξ1，ξ2]上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使 [*]
解析 证明在某区间内存在一点ξ使得f’(ξ)=0常可考虑利用罗尔定理，而证明在某区间内存在一点ξ使得f’(ξ)＞0常可考虑利用拉格朗日中值定理．
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考研数学三

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