设A是n阶矩阵(n≥2)，证明： (Ⅰ)当n=2时，(A)=A； (Ⅱ)当n≥3时，(A)=｜A｜n-1A。

admin2018-01-26 38

问题设A是n阶矩阵(n≥2)，证明：
(Ⅰ)当n=2时，(A^*)^*=A；
(Ⅱ)当n≥3时，(A^*)^*=｜A｜^n-1A。

选项

答案(Ⅰ)当n=2时，设A=[*]，从而 A^*=[*] 因此 (A^*)^*=[*]=A。 (Ⅱ)当n≥3时，若｜A｜≠0，根据A^*=A^-1｜A｜，则｜A^*｜=｜｜A｜A^-1｜=｜A｜^n-1，由A^*(A^*)^*=｜A^*｜E，可得 (A^*)^*=｜A^*｜(A^*)^-1=｜A｜^n-1[*]=｜A｜^n-2A，当｜A｜=0时，R(A^*)≤1＜n-1，因此(A^*)^*=0。命题仍成立。因此n≥3时，(A^*)^*=｜A｜^n-2A。

解析

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