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[2009年] 设α=[1,1,1]T,β=[1,0,k]T,若矩阵αβT相似于则k=_________.
[2009年] 设α=[1,1,1]T,β=[1,0,k]T,若矩阵αβT相似于则k=_________.
admin
2021-01-25
46
问题
[2009年] 设α=[1,1,1]
T
,β=[1,0,k]
T
,若矩阵αβ
T
相似于
则k=_________.
选项
答案
2
解析
解一 因αβ
T
相似于
而
利用相似矩阵的性质即命题2.5.3.3(4)得到tr(αβ
T
)=1+0+k=3+0+0,即k=2.
解二 设A=αβ
T
,λ为A的特征值,而
故
A
2
=A·A=αβ
T
·αβ
T
=α(β
T
α)β
T
=(β
T
α)αβ
T
=(1+k)A,
所以λ
2
=(1+k)λ,即λ[λ-(1+k)]=0,从而λ=0或λ=1+k.
又A相似于对角矩阵
由命题2.5.3.3(3)知,相似矩阵有相同的特征值,故A的特征值0,0,3,于是应有1+k=3,即k=2.
注:命题2.5.3.3 设矩阵A=[a
ij
]
n×n
与B=[b
ij
]
n×n
相似,则(3)|λE-A|=|λE—B|,从而A与B有相同的特征值;(4)a
11
+a
22
+…+a
nn
=b
11
+b
22
+…+b
nn
,即tr(A)=tr(B).
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考研数学三
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