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  3. [2009年] 设α=[1，1，1]T，β=[1，0，k]T，若矩阵αβT相似于则k=_________．

[2009年] 设α=[1，1，1]T，β=[1，0，k]T，若矩阵αβT相似于则k=_________．

admin2021-01-25  37
问题 [2009年]  设α=[1，1，1]T，β=[1，0，k]T，若矩阵αβT相似于则k=_________．
选项
答案2
解析 解一  因αβT相似于而利用相似矩阵的性质即命题2．5．3．3(4)得到tr(αβT)=1+0+k=3+0+0，即k=2．
    解二  设A=αβT，λ为A的特征值，而故
                A2=A·A=αβT·αβT=α(βTα)βT=(βTα)αβT=(1+k)A，
所以λ2=(1+k)λ，即λ[λ－(1+k)]=0，从而λ=0或λ=1+k．
    又A相似于对角矩阵由命题2．5．3．3(3)知，相似矩阵有相同的特征值，故A的特征值0，0，3，于是应有1+k=3，即k=2．
    注：命题2．5．3．3  设矩阵A=[aij]n×n与B=[bij]n×n相似，则(3)|λE－A|=|λE—B|，从而A与B有相同的特征值；(4)a11+a22+…+ann=b11+b22+…+bnn，即tr(A)=tr(B)．
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考研数学三

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