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函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1且满足等式 f’(x)+f(x)-∫0xf(t)dt=0。 证明:当x≥0时,成立不等式e-x≤f(x)≤1成立。
函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1且满足等式 f’(x)+f(x)-∫0xf(t)dt=0。 证明:当x≥0时,成立不等式e-x≤f(x)≤1成立。
admin
2019-06-09
60
问题
函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1且满足等式
f’(x)+f(x)-
∫
0
x
f(t)dt=0。
证明:当x≥0时,成立不等式e
-x
≤f(x)≤1成立。
选项
答案
方法一:用积分证。 f(x)=f(0)+∫
0
x
f’(t)dt=1-∫
0
x
[*]dt。 而0≤∫
0
x
[*]dt≤∫
0
x
e
-t
dt=-e
-t
|
0
x
=1-e
-x
, 两边同乘以(-1),得: e
-x
-1≤-∫
0
x
[*]dt≤0, 即e
-t
≤f(x)=1-∫
0
x
[*]dt≤1。 方法二:用微分学方法证。 因f(0)=1,f’(x)<0,即f(x)单调递减,所以当x≥0时f(x)≤1。 要证f(x)≥e
-x
,可转化为证明f(x)-e
-x
≥0,令φ(x)=f(x)-e
-x
,则 φ(0)=1-1=0,且φ’(x)=f’(x)+e
-x
≥f’(x)+[*]=0(x≥0), 所以,当x≥0时φ(x)≥0,即f(x)≥e
-x
。 结合两个不等式,推知当x≥0时,e
-x
≤f(x)≤1。证毕。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/PeV4777K
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