设A为三阶实对称矩阵，且存在正交矩阵Q＝，使得QTAQ＝，又令B＝A2＋2E，求矩阵B．

admin2017-03-06 2

问题设A为三阶实对称矩阵，且存在正交矩阵Q＝

，使得Q^TAQ＝

，又令B＝A²＋2E，求矩阵B．

选项

答案由Q^TAQ＝[*]得A的特征值为λ₁＝2，λ₂＝－1，λ₃＝1，且λ₁＝2对应的特征向量为考ξ₁＝[*]．由A^T＝A得B^T＝(A²＋2E)^T＝(A²)^T＋2E＝A²＋2E＝B，即B为实对称矩阵．显然B的特征值为λ₁＝6，λ₂＝λ₃＝3，且B相应于特征值λ₁＝6的特征向量为ξ₁＝[*]．设B的相应于λ₂＝λ₃＝3的特征向量为ξ＝[*]，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以ξ₁^Tξ＝0，即χ₁＋χ₂＋χ₃＝0，于是B的相应于特征值λ₂＝λ₃＝3的线性无关的特征向量为ξ₂＝[*]． [*]

解析

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考研数学二

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设A为三阶实对称矩阵，且存在正交矩阵Q＝，使得QTAQ＝，又令B＝A2＋2E，求矩阵B．

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