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设随机变量(X,Y)~N(0,0;1,4;0). (Ⅰ)若X+Y与X+aY相互独立,求a的值,并求Z=X+aY的概率密度f(z); (Ⅱ)计算D(X2一2Y2).
设随机变量(X,Y)~N(0,0;1,4;0). (Ⅰ)若X+Y与X+aY相互独立,求a的值,并求Z=X+aY的概率密度f(z); (Ⅱ)计算D(X2一2Y2).
admin
2020-05-19
30
问题
设随机变量(X,Y)~N(0,0;1,4;0).
(Ⅰ)若X+Y与X+aY相互独立,求a的值,并求Z=X+aY的概率密度f(z);
(Ⅱ)计算D(X
2
一2Y
2
).
选项
答案
(Ⅰ)因为X+Y与X+aY独立,所以X+Y与X+aY不相关.又对二维正态分布ρ
XY
=0[*]X与Y独立, 所以Cov(X+Y,X+aY)=Coy(X,X)+Coy(X,ay)+Cov(Y,X)+aCov(Y,Y) =DX+aDY=1+a.4=0 [*] 由(X,Y)~N(0,0;1,4;0),有X~N(0,1),Y~N(0,4),且X与Y独立. [*] (Ⅱ)由X与Y独立,有X
2
与Y
2
独立,所以D(X
2
-2Y
2
)=D(X
2
)+4D(Y
2
). [*] 所以D(X
2
一2Y
2
)=[*]
解析
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考研数学一
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