设随机变量(X，Y)～N(0，0；1，4；0)． (Ⅰ)若X+Y与X+aY相互独立，求a的值，并求Z=X+aY的概率密度f(z)； (Ⅱ)计算D(X2一2Y2)．

admin2020-05-19 63

问题设随机变量(X，Y)～N(0，0；1，4；0)．
(Ⅰ)若X+Y与X+aY相互独立，求a的值，并求Z=X+aY的概率密度f(z)；
(Ⅱ)计算D(X²一2Y²)．

选项

答案(Ⅰ)因为X+Y与X+aY独立，所以X+Y与X+aY不相关．又对二维正态分布ρ_XY=0[*]X与Y独立，所以Cov(X+Y，X+aY)=Coy(X，X)+Coy(X，ay)+Cov(Y，X)+aCov(Y，Y) =DX+aDY=1+a.4=0 [*] 由(X，Y)～N(0，0；1，4；0)，有X～N(0，1)，Y～N(0，4)，且X与Y独立． [*] (Ⅱ)由X与Y独立，有X²与Y²独立，所以D(X²－2Y²)=D(X²)+4D(Y²)． [*] 所以D(X²一2Y²)=[*]

解析

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考研数学一

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