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设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=λ,试证明至少存在一点ξ∈(a,b),使 f′(ξ)+f(ξ)=λ.
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=λ,试证明至少存在一点ξ∈(a,b),使 f′(ξ)+f(ξ)=λ.
admin
2016-02-27
45
问题
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=λ,试证明至少存在一点ξ∈(a,b),使
f′(ξ)+f(ξ)=λ.
选项
答案
首先考虑哪一个函数的导数能推出f′(x)+f(x)一λ=0.因为 f′(x)+f(x)一λ=[f(x)一λ]′+[f(λ)一λ]=0. 故 e
x
[f(x)一λ]′+(e
x
)′[f(x)一λ]=0·e
x
=0 即 {e
x
[f(x)一λ]}′=0. 因而借助e
x
的导数等于它自己的性质,由函数F(x)=e
x
[f(x)一λ]的导数能推出 f′(x)+f(x)一λ=0. 事实上, F′(x)=e
x
[f(x)一λ]+e
x
f′(x)=e
x
[f′(x)+f(x)一λ]. 因为e
x
≠0,由 e
x
[f′(x)+f(x)一λ]=0, 就得到 f′(x)+f(x)一λ=0, 即 f′(x)+f(x)=λ. 证 作辅助函数 F(x)=e
x
(f(x)一λ), 则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=0, F′(x)=e
x
(f′(x)+f(x)一λ), 故由罗尔定理可知,存在ξ∈(a,b),使F′(ξ)=0,注意到e
ξ
≠0,即得 f′(ξ)+f(ξ)=λ.
解析
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考研数学二
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