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设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 求:(Ⅰ)系数A; (Ⅱ)(X,Y)的联合分布函数; (Ⅲ)边缘概率密度; (Ⅳ)(X,Y)落在区域R:x>0,y>0,2x+3y<6内的概率。
设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 求:(Ⅰ)系数A; (Ⅱ)(X,Y)的联合分布函数; (Ⅲ)边缘概率密度; (Ⅳ)(X,Y)落在区域R:x>0,y>0,2x+3y<6内的概率。
admin
2018-01-12
54
问题
设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
求:(Ⅰ)系数A;
(Ⅱ)(X,Y)的联合分布函数;
(Ⅲ)边缘概率密度;
(Ⅳ)(X,Y)落在区域R:x>0,y>0,2x+3y<6内的概率。
选项
答案
(Ⅰ)根据分布函数的性质 ∫
—∞
+∞
∫
—∞
+∞
f(x,y)dxdy=∫
0
+∞
∫
0
+∞
Ae
—(2x+3y)
=[*]=1,解得A=6。 (Ⅱ)将A=6代入得(X,Y)的联合概率密度为 [*] 所以当x>0,y>0时, F(x,y)=∫
0
x
∫
0
x
6e
—(2x+3y)
dudυ=6∫
0
x
e
—2u
du∫
0
y
e
—3υ
dυ=(1一e
—2x
)(1一e
—3y
), 而当x和y取其它值时,F(x,y)=0。 综上所述,可得联合概率分布函数为 [*] (Ⅲ)当x>0时,X的边缘密度为 f
X
(x)=∫
0
+∞
6e
—(2x+3y)
dy=2e
—2x
, 当x≤0时,f
X
(x)=0。因此X的边缘概率密度为 [*] 同理可得Y的边缘概率密度函数为 [*] (Ⅳ)根据公式 [*] 已知R:x>0,y>0,2x+3y<6,将其转化为二次积分,可表示为 P[(X,Y)∈R]=[*]6e
—(2x+3y)
dxdy=6∫
0
3
e
—2x
[*]e
—3y
dy=2∫
0
3
(e
—2x
—e
—6
)dx=1一7e
—6
≈0.983。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/PtX4777K
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考研数学三
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