设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAx=0，必有( )

admin2021-01-25 84

问题设A为n阶实矩阵，A^T是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：A^TAx=0，必有( )

选项 A、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解。
B、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解。
C、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解。
D、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。

答案A

解析若α是方程组(Ⅰ)：Ax=0的解，即Aα=0，两边左乘A^T，得A^TAα=0，即α也是方程组(Ⅱ)：A^TAx=0的解，即(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解。
若β是方程组(Ⅱ)：A^TAx=0的解，即A^TAβ=0，两边左乘β^T得β^TA^TAβ-=(Aβ)^TAβ=0。Aβ是一个向量，设Aβ=(b₁，b₂，…，b_n)^T，则
(Aβ)^TAβ=

b_i²=0。
故有b_i=0，i=1，2，…，n，从而有Aβ=0，即β也是方程组(Ⅰ)：Ax=0的解。

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考研数学三

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