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  3. 设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAx=0，必有( )

设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAx=0，必有( )

admin2021-01-25  66
问题 设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAx=0，必有(    )
选项 A、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解。
B、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解。
C、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解。
D、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。
答案A
解析 若α是方程组(Ⅰ)：Ax=0的解，即Aα=0，两边左乘AT，得ATAα=0，即α也是方程组(Ⅱ)：ATAx=0的解，即(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解。
    若β是方程组(Ⅱ)：ATAx=0的解，即ATAβ=0，两边左乘βT得βTATAβ-=(Aβ)TAβ=0。Aβ是一个向量，设Aβ=(b1，b2，…，bn)T，则
    (Aβ)TAβ=bi2=0。
    故有bi=0，i=1，2，…，n，从而有Aβ=0，即β也是方程组(Ⅰ)：Ax=0的解。
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考研数学三

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