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设A= 设A是二阶方阵,当k>2时,证明:Ak=O的充分必要条件为A2=O.
设A= 设A是二阶方阵,当k>2时,证明:Ak=O的充分必要条件为A2=O.
admin
2016-07-22
73
问题
设A=
设A是二阶方阵,当k>2时,证明:A
k
=O的充分必要条件为A
2
=O.
选项
答案
充分性A
2
=O[*]A
k
=O,k>2,显然成立; 必要性 方法一A
k
=O[*]|A|=ad-bc=0,由(1)知A
2
=(a+d)A,于是A
k
=(a+d)
k-1
A=O, 故A=O或a+d=0,从而有A
2
=(a+d)A=O. 方法二A是2阶矩阵,|A|=0,故r(A)≤ 若r(A)=0,则A=O,从而A
2
=O; 若r(A)=1,则 A=αβ
T
,A
2
=αβ
T
αβ
T
=(β
T
α)A,其中α,β为非零二维列向量, A
k
=(β
T
α)k
k-1
A=O[*]β
T
α=0或A=O, 从而有A
2
=O.
解析
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考研数学一
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