设A= 设A是二阶方阵，当k＞2时，证明：Ak=O的充分必要条件为A2=O．

admin2016-07-22 63

问题设A=

设A是二阶方阵，当k＞2时，证明：A^k=O的充分必要条件为A²=O．

选项

答案充分性A²=O[*]A^k=O，k＞2，显然成立；必要性方法一A^k=O[*]｜A｜=ad-bc=0，由(1)知A²=(a+d)A，于是A^k=(a+d)^k-1A=O，故A=O或a+d=0，从而有A²=(a+d)A=O．方法二A是2阶矩阵，｜A｜=0，故r(A)≤ 若r(A)=0，则A=O，从而A²=O；若r(A)=1，则 A=αβ^T，A²=αβ^Tαβ^T=(β^Tα)A，其中α，β为非零二维列向量， A^k=(β^Tα)k^k-1A=O[*]β^Tα=0或A=O，从而有A²=O．

解析

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