2. 考研
  3. 设A= 设A是二阶方阵，当k＞2时，证明：Ak=O的充分必要条件为A2=O．

设A= 设A是二阶方阵，当k＞2时，证明：Ak=O的充分必要条件为A2=O．

admin2016-07-22  64
问题 设A=
设A是二阶方阵，当k＞2时，证明：Ak=O的充分必要条件为A2=O．
选项
答案充分性A2=O[*]Ak=O，k＞2，显然成立； 必要性 方法一Ak=O[*]｜A｜=ad-bc=0，由(1)知A2=(a+d)A，于是Ak=(a+d)k-1A=O， 故A=O或a+d=0，从而有A2=(a+d)A=O． 方法二A是2阶矩阵，｜A｜=0，故r(A)≤ 若r(A)=0，则A=O，从而A2=O； 若r(A)=1，则 A=αβT，A2=αβTαβT=(βTα)A，其中α，β为非零二维列向量， Ak=(βTα)kk-1A=O[*]βTα=0或A=O， 从而有A2=O．
解析
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考研数学一

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