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设f(x)在[-a,a]上连续,在(-a,a)内可导,且f(-a)=f(a)(a>0),证明:存在ξ∈(-a,a),使得f’(ξ)=2ξf(ξ).
设f(x)在[-a,a]上连续,在(-a,a)内可导,且f(-a)=f(a)(a>0),证明:存在ξ∈(-a,a),使得f’(ξ)=2ξf(ξ).
admin
2022-06-30
47
问题
设f(x)在[-a,a]上连续,在(-a,a)内可导,且f(-a)=f(a)(a>0),证明:存在ξ∈(-a,a),使得f’(ξ)=2ξf(ξ).
选项
答案
令φ(x)=[*]f(x), 由f(-a)=f(a)得φ(-a)=φ(a), 由罗尔定理,存在ξ∈(-a,a),使得φ’(ξ)=0, 而φ’(x)= [*][f’(x)-2xf(x)]且[*]≠0,故f’(ξ)=2ξf(ξ).
解析
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考研数学二
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