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求曲面积分I=xz2dydz-sinxdxdy,其中S为曲线(1≤z≤2)绕z轴旋转而成的旋转面,其法向量与z轴正向的夹角为锐角.
求曲面积分I=xz2dydz-sinxdxdy,其中S为曲线(1≤z≤2)绕z轴旋转而成的旋转面,其法向量与z轴正向的夹角为锐角.
admin
2016-10-26
24
问题
求曲面积分I=
xz
2
dydz-sinxdxdy,其中S为曲线
(1≤z≤2)绕z轴旋转而成的旋转面,其法向量与z轴正向的夹角为锐角.
选项
答案
在S∪S
1
∪S
2
围成的区域Ω上应用高斯公式,因边界取内法向,故 [*] 其中Ω为z
2
+1=x
2
+y
2
与z=1,z=2所围,圆D(z)的半径为[*].又 [*]xz
2
dydz-sinxdxdy=[*]-sinxdxdy =[*]-sinxdxdy=0(i=1时公式取“-”,i=2时公式取“+”), 其中S
i
与yz平面垂直(i=1,2),D
i
为S
i
在xy平面上的投影区域分别是圆域x
2
+y
2
≤5,x
2
+y
2
≤2. 因此 I=[*]
解析
首先求出曲面S的方程:x
2
+y
2
=1+z
2
(1≤z≤2),法向量朝上.
记P=xz
2
,Q=O,R=-sinx,则
=z
2
较简单,但S不是封闭曲面,为了用高斯公式,添加辅助面S
1
:z=2(x
2
+y
2
≤5),法向量朝下;S
2
:z=1(x
2
+y
2
≤2),法向量朝上.在S∪S
1
∪S
2
围成的区域Ω上可用高斯公式来计算.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/T2u4777K
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考研数学一
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