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  3. 已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x-t)dt=ax2． 求f(x)；

已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x-t)dt=ax2． 求f(x)；

admin2022-09-22  105
问题 已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x-t)dt=ax2．
求f(x)；
选项
答案令u=x-t，则t=x-u，dt=-du．因此 ∫0xtf(x-t)dt=∫0x(x-u)f(u)du=x∫0xf(u)du-∫0xuf(u)du， 从而∫0xf(t)dt+∫0xtf(x-t)dt=ax2可转化为 ∫0xf(t)dt+x∫0xf(u)du-∫0xuf(u)du=ax2． 将上式两边关于x求导，得 f(x)+∫0xf(u)du+xf(x)-xf(x)=2ax， 即 f(x)+∫0xf(u)du=2ax． 将上式两边关于x求导，得 f’(x)+f(x)=2a． 由通解公式，可求得上述一阶非齐次线性微分方程的通解为 f(x)=e-∫1dx(∫2ae∫1dxdx+C)=e-x(C+2a∫exdx) =e-x(2aex+C)． 又f(0)=0，则可得C=-2a．因此 f(x)=2a(1-e-x)．
解析
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考研数学二

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