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已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x-t)dt=ax2. 求f(x);
已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x-t)dt=ax2. 求f(x);
admin
2022-09-22
105
问题
已知连续函数f(x)满足∫
0
x
f(t)dt+∫
0
x
tf(x-t)dt=ax
2
.
求f(x);
选项
答案
令u=x-t,则t=x-u,dt=-du.因此 ∫
0
x
tf(x-t)dt=∫
0
x
(x-u)f(u)du=x∫
0
x
f(u)du-∫
0
x
uf(u)du, 从而∫
0
x
f(t)dt+∫
0
x
tf(x-t)dt=ax
2
可转化为 ∫
0
x
f(t)dt+x∫
0
x
f(u)du-∫
0
x
uf(u)du=ax
2
. 将上式两边关于x求导,得 f(x)+∫
0
x
f(u)du+xf(x)-xf(x)=2ax, 即 f(x)+∫
0
x
f(u)du=2ax. 将上式两边关于x求导,得 f’(x)+f(x)=2a. 由通解公式,可求得上述一阶非齐次线性微分方程的通解为 f(x)=e
-∫1dx
(∫2ae
∫1dx
dx+C)=e
-x
(C+2a∫e
x
dx) =e
-x
(2ae
x
+C). 又f(0)=0,则可得C=-2a.因此 f(x)=2a(1-e
-x
).
解析
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0
考研数学二
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