已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x-t)dt=ax2．求f(x)；

admin2022-09-22 99

问题已知连续函数f(x)满足∫₀^xf(t)dt+∫₀^xtf(x-t)dt=ax²．
求f(x)；

选项

答案令u=x-t，则t=x-u，dt=-du．因此 ∫₀^xtf(x-t)dt=∫₀^x(x-u)f(u)du=x∫₀^xf(u)du-∫₀^xuf(u)du，从而∫₀^xf(t)dt+∫₀^xtf(x-t)dt=ax²可转化为 ∫₀^xf(t)dt+x∫₀^xf(u)du-∫₀^xuf(u)du=ax²．将上式两边关于x求导，得 f(x)+∫₀^xf(u)du+xf(x)-xf(x)=2ax，即 f(x)+∫₀^xf(u)du=2ax．将上式两边关于x求导，得 f’(x)+f(x)=2a．由通解公式，可求得上述一阶非齐次线性微分方程的通解为 f(x)=e^-∫1dx(∫2ae^∫1dxdx+C)=e^-x(C+2a∫e^xdx) =e^-x(2ae^x+C)．又f(0)=0，则可得C=-2a．因此 f(x)=2a(1-e^-x)．

解析

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