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设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2,α1=(1,一1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量,记B=A5一4A3+E,其中E为三阶单位矩阵。 验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2,α1=(1,一1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量,记B=A5一4A3+E,其中E为三阶单位矩阵。 验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
admin
2018-04-12
43
问题
设三阶实对称矩阵A的特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=一2,α
1
=(1,一1,1)
T
是A的属于λ
1
的一个特征向量,记B=A
5
一4A
3
+E,其中E为三阶单位矩阵。
验证α
1
是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
选项
答案
Bα
1
=(A
5
一4A
3
+E)α
1
=λ
1
5
α
1
—4λ
1
3
α
1
+α
1
=(λ
1
5
一4λ
1
3
+1)α
1
=一2α
1
, 则α
1
是矩阵B的属于一2的特征向量。 同理可得 Bα
2
=(λ
2
5
一4λ
2
3
+1)α
2
=α
2
, Bα
3
=(λ
3
5
一4λ
3
3
+1)α
3
=α
3
。 所以B的全部特征值为一2,1,1。 设B的属于1的特征向量为α
2
=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,显然B为对称矩阵,根据不同特征值所对应的特征向量正交可得α
1
T
α
2
=0,即x
1
一x
2
+x
3
=0。解方程组可得B的属于1的特征向量为α
2
=k
1
(1,0,一1)
T
+k
2
(1,1,0)
T
,其中k
1
,k
2
为不全为零的任意常数。故B的属于一2的特征向量为 k
3
(1,一1,1)
T
,其中k
3
是不为零的常数。
解析
考查的是特征值和特征向量的定义。矩阵B实际上是关于矩阵A的多项式,它们有相同的特征向量,利用Aα
i
=λ
i
α
i
可以直接计算Bα
1
,Bα
2
,Bα
3
,进而求出矩阵B的特征值。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Pxk4777K
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考研数学二
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