2. 考研
  3. 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

admin2018-04-12  71
问题 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。
验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
选项
答案Bα1=(A5一4A3+E)α1=λ15α1—4λ13α1+α1 =(λ15一4λ13+1)α1=一2α1， 则α1是矩阵B的属于一2的特征向量。 同理可得 Bα2=(λ25一4λ23+1)α2=α2， Bα3=(λ35一4λ33+1)α3=α3。 所以B的全部特征值为一2，1，1。 设B的属于1的特征向量为α2=(x1，x2，x3)T，显然B为对称矩阵，根据不同特征值所对应的特征向量正交可得α1Tα2=0，即x1一x2+x3=0。解方程组可得B的属于1的特征向量为α2=k1(1，0，一1)T+k2(1，1，0)T，其中k1，k2为不全为零的任意常数。故B的属于一2的特征向量为 k3(1，一1，1)T，其中k3是不为零的常数。
解析 考查的是特征值和特征向量的定义。矩阵B实际上是关于矩阵A的多项式，它们有相同的特征向量，利用Aαi=λiαi可以直接计算Bα1，Bα2，Bα3，进而求出矩阵B的特征值。
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考研数学二

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