设向量组(I)α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,一1,a+2)T和向量组(Ⅱ)β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T。 试问:当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时,向量组

admin2017-01-13  33

问题 设向量组(I)α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,一1,a+2)T和向量组(Ⅱ)β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T
试问:当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)不等价?

选项

答案对矩阵(α1231,β2,β3)作初等行变换,有 [*] 当a≠一1时,行列式|α123|=a+1≠0,由克拉默法则可知线性方程组x1α1+x2α2+x3α3i(i=1,2,3)均有唯一解,此时向量组(Ⅱ)可由向量组(I)线性表示。同理,由行列式|β1,β2,β3|=6≠0,可知向量组(I)也可由向量组(Ⅱ)线性表示。向量组(I)与(Ⅱ)等价。当a=一1时,有 [*] 因为r(α123)≠r(α123,β1),所以线性方程组x1α1+x2α2+x3α31无解,即β1不能由α123线性表示。向量组(I)与(Ⅱ)不等价。综上所述,当a≠一1时,向量组(I)与(Ⅱ)等价;当a=一1时,向量组(I)与(Ⅱ)不等价。

解析
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