设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内大于零，并满足xf’(x)=f(x)+x2(a为常数),又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积值为2，求函数y=f(x),并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。

admin2022-10-08 63

问题设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内大于零，并满足xf’(x)=f(x)+

x²(a为常数),又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积值为2，求函数y=f(x),并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。

选项

答案[*] 即C=4－a，因此f(x)=[*]ax²+(4－a)x旋转体的体积为 V(a)=π∫₀¹f²(x)dx=π∫₀¹[[*]ax²+(4－a)x]²dx=[*] [*]

解析

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考研数学三

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(1)设α1，α3，β1，β2均为3维列向量，且α1，α3线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由α1，α3线性表示，又可由β1，β2线性表示；(2)当时，求所有的既可由α1，α2线性表示，又可由β1，β2线性表示的向量ξ．
已知向量组α1=(1，0，2，3)T，α2=(1，1，3，5)T，α3=(1，一1，a+2，1)T，α4=(1，2，4，a+8)T，β=(1，1，6+3，5)T．问：a，b为何值时，β不能由α1，α2，α3，α4线性表示；
设f(x)在点x=0某一邻域内具有二阶连续导数，且证明级数绝对收敛．
设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一1，且α1=(1，a+1，2)T，α2=(a一1，一a，1)T分别是λ1，λ2对应的特征向量．又A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0，属于λ0的特征向量为α0=(2，一5a，2a+1)T．试求a、λ0的值
设矩阵已知A有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值．试求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角形矩阵．
设函数y=f(x)由方程e2x+ycos(xy)=e－1确定，求曲线y=f(x)在点(0，1)处的法线方程．
设y=f(x)有二阶连续导数，且满足xy"+3xy′2=1－e－x．若f(x)在x=0处取得极值，问f(0)是极小值还是极大值?
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