设f(x),g(x)在区间[-a,a](a>0)上连续,g(x)为偶函数,且f(x)满足条件f(x)+f(-x)=A(A为常数)。 证明:∫-aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx

admin2014-04-17  34

问题 设f(x),g(x)在区间[-a,a](a>0)上连续,g(x)为偶函数,且f(x)满足条件f(x)+f(-x)=A(A为常数)。
证明:∫-aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx

选项

答案证明:(1)∫-aaf(x)g(x)dx=∫-a0f(x)g(x)dx+∫0af(x)g(x)dx,令u=-x,∫-a0f(x)g(x)dx=-∫a0f(-u)g(-u)du=∫0af(-x)g(x)dx,所以∫-aaf(x)g(x)dx=∫0af(-x)g(x)dx+∫0af(x)g(x)dx=∫0a[f(-x)+f(x)]g(x)dx=A∫0ag(x)dx

解析
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