三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22一2y32，且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=求此二次型．

admin2016-10-24 33

问题三元二次型f=X^TAX经过正交变换化为标准形f=y₁²+y₂²一2y₃²，且A^*+2E的非零特征值对应的特征向量为α₁=

求此二次型．

选项

答案因为f=X^TAX经过正交变换后的标准形为f=y₁²+y₂²一2y₃²，所以矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=一2．由|A|=λ₁λ₂λ₃=一2得A^*的特征值为μ₁=μ₂=一2，μ₃=1，从而A^*+2E的特征值为0，0，3，即α₁为A^*+2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ₃=一2的特征向量，令A的属于特征值λ₁=λ₂=1的特征向量为α=[*]，因为A为实对称矩阵，所以有α₁^Tα=0，即x₁+x₃=0故矩阵A的属于λ₁=λ₂=1的特征向量为 α₂=[*] 令P=(α₂，α₃，α₁)=[*]，得 [*] 所求的二次型为 f=X^TAX=一[*]x₃²+x₂²一[*]x₃²一3x₁x₂

解析

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考研数学三

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三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22一2y32，且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=求此二次型．

考研数学三

描绘下列函数的图形：(1)y＝e-(x－1)2；(2)y＝x／1＋x2．

求下列微分方程的通解(1)xyˊ＋y－2y3＝0；(2)xyˊlnx＋y＝x(1＋lnx)；(3)yˊ＋ex(1－e－y)＝0；(4)yy〞－yˊ2－1＝0．

利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值：(1)ln3(误差不超过10－4)；(2)(误差不超过10－5)；(3)sinh0．5(误差不超过10－4)；(4)sin3°(误差不超过10－5)．

证明下列不等式：

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)．其中a(x)是当x—0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线方程．

已知向量组(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α4，α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(II)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

设向量α=(α1，α2，…，αn)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT．求：A2．

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