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  3. 已知p=的一个特征向量。 （Ⅰ）求参数a，b及特征向量p所对应的特征值； （Ⅱ）问A能不能相似对角化？并说明理由。

已知p=的一个特征向量。 （Ⅰ）求参数a，b及特征向量p所对应的特征值； （Ⅱ）问A能不能相似对角化？并说明理由。

admin2017-01-21  42
问题 已知p=的一个特征向量。
（Ⅰ）求参数a，b及特征向量p所对应的特征值；
（Ⅱ）问A能不能相似对角化？并说明理由。
选项
答案（Ⅰ）设λ是特征向量p所对应的特征值，根据特征值的定义，有（A—λE）p=0，即 [*] 从而有方程组 [*] 解得a=—3，b=0，且p所对应的特征值λ=—1。 （Ⅱ）A的特征多项式 |A—λE|=[*]=一（λ+1）3，得A的特征值为λ=—1（三重）。 若A能相似对角化，则特征值λ=—1有三个线性无关的特征向量，而 [*] 故r（A+E）=2，所以齐次线性方程组（A+E）x=0的基础解系只有一个解向量，A不能相似对角化。
解析
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考研数学三

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