设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)＝0，求证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(2ξ＋1)f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．

admin2018-06-12 36

问题设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)＝0，求证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(2ξ＋1)f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．

选项

答案令F(χ)＝χe^2χf(χ)，则由题设知F(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)＝0，F(1)＝e²f(1)＝0，即F(χ)在[0，1]上满足罗尔定理的全部条件，故至少存在一点ξ∈(0，1)，使F′(ξ)＝(e^2ξ＋2ξe^2ξ)f(ξ)＋ξe^2ξf′(ξ)＝e^2ξ[(2ξ＋1)f(ξ)＋ξf′(ξ)]＝0，从而 (2ξ＋1)f(ξ)＋f′(ξ)＝0．

解析

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考研数学一

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