2. 考研
  3. 设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)＝0，求证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(2ξ＋1)f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．

设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)＝0，求证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(2ξ＋1)f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．

admin2018-06-12  19
问题 设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)＝0，求证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(2ξ＋1)f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．
选项
答案令F(χ)＝χe2χf(χ)，则由题设知F(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)＝0，F(1)＝e2f(1)＝0，即F(χ)在[0，1]上满足罗尔定理的全部条件，故至少存在一点ξ∈(0，1)，使F′(ξ)＝(e2ξ＋2ξe2ξ)f(ξ)＋ξe2ξf′(ξ)＝e2ξ[(2ξ＋1)f(ξ)＋ξf′(ξ)]＝0，从而 (2ξ＋1)f(ξ)＋f′(ξ)＝0．
解析
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考研数学一

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