设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(Ⅰ)Aχ＝0和(Ⅱ)ATAχ＝0，必有( )

admin2016-05-09 53

问题设A为n阶矩阵，A^T是A的转置矩阵，对于线性方程组(Ⅰ)Aχ＝0和(Ⅱ)A^TAχ＝0，必有( )

选项 A、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解．
B、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．
C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．
D、(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也不是(Ⅱ)的解．

答案A

解析如果α是(Ⅰ)的解，有Aα＝0，可得
A^TAα＝A^T(Aα)＝A^T0＝0，
即α是(Ⅱ)的解．故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解．
反之，若α是(Ⅱ)，的解，有A^TAα＝0，用α^T左乘可得
α^T(A^TAα)＝(α^TA^T)(Aα)＝(Aα)^T(Aα)＝α^T0＝0，
若设Aα＝(b₁，b₂，…，b_n)，那么
(Aα)^T(Aα)＝b₁²＋b＋₂²…＋b_n²＝0

b_i＝0(i＝1，2，…，n)
即Aα＝0．亦即α是(Ⅰ)的解．因此(Ⅱ)的解也必是(Ⅰ)的解．所以应选A．

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考研数学一

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