设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足 证明:存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=2ξf(ξ).

admin2017-03-15  49

问题 设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足

证明:存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=2ξf(ξ).

选项

答案由积分中值定理,得[*] 令F(x)=[*],则F(x)在[ξ1,1]上连续,在(ξ1,1)内可导,且 F(1)=f(1)=[*]f(ξ1)=F(ξ1). 由罗尔定理,在(ξ1,1)内至少有一点ξ,使得 F’(ξ)=[*][f’(ξ)-2ξf(ξ)]=0, 于是 f’(ξ)=2ξf(ξ),ξ∈(ξ1,1)[*](0,1).

解析
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