2. 专升本
  3. 设函数f(x)和g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，g(x)≠0，证明在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g’(ξ)=0．

设函数f(x)和g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，g(x)≠0，证明在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g’(ξ)=0．

admin2019-10-15  5
问题 设函数f(x)和g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，g(x)≠0，证明在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g’(ξ)=0．
选项
答案设F(x)=f(x)g2(x)，由题设条件知，F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，并且F(a)=F(b)=0，所以由罗尔中值定理得，在(a，b)内至少存在 一点ξ，使得F’(ξ)=0， 即f’(ξ)g2(ξ)+2f(ξ)g(ξ)g’(ξ)=0， 由于g(ξ)≠0，得f’(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g’(ξ)=0.
解析
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