设函数f(χ)连续,且∫0χf(t)dt=sin2χ+∫0χtf(χ-1)dt.求f(χ).

admin2016-10-21  31

问题 设函数f(χ)连续,且∫0χf(t)dt=sin2χ+∫0χtf(χ-1)dt.求f(χ).

选项

答案将[*] 代入原方程即得∫0χf(t)dt=sin2χ+χ∫0χf(u)du-∫0χuf(u)du. ① 由f(χ)连续可见以上方程中各项均可导.将方程①两端对χ求导即得 f(χ)=2sinχcosχ+∫0χf(u)du=sin2χ+∫0χf(u)du. ② (在①中令χ=0,得0=0,不必另加条件①与②同解.) 在②式中令χ=0可得f(0)=0,由②式还可知f(χ)可导,于是将它两端对χ求导,又得 f′(χ)=2cos2χ+f(χ). 故求y=f(χ)等价于求解初值问题[*]的特解.解之可得 y=f(χ)=[*](eχ+2sin2χ-cos2χ) .

解析
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