设f(x)在[0,1]二阶可导,且|f(0)|≤a,|f(1)|≤a,|f"(x)|≤b,其中a,b为非负常数,求证:对任何c∈(0,1),有

admin2019-05-08  54

问题 设f(x)在[0,1]二阶可导,且|f(0)|≤a,|f(1)|≤a,|f"(x)|≤b,其中a,b为非负常数,求证:对任何c∈(0,1),有
           

选项

答案考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式:[*]有 f(x)=f(c)+f’(c)(x-c)+[*]f"(ξ)(x-c)2, (*) 其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1. 在(*)式中,令x=0,得 f(0)=f(c)+f’(c)(-c)+[*]f"(ξ)c2,0<ξ1<c<1; 在(*)式中,令x=1,得 f(1)=f(c)+f’(c)(1-c)+[*]f"(ξ2)(1-c)2,0<c<ξ2<1. 上面两式相减得 f(1)-f(0)=f’(c)+[*][f"(ξ2)(1-c)2-f"(ξ1)c2]. 从而f’(c)=f(1)-f(0)+[*][f"(ξ1)c2-f"(ξ2)(1-c)2],两端取绝对值并放大即得 [*] 其中利用了对任何c∈(0,1)有(1-c)2≤1-c,c2≤c,于是(1-c)2+c2≤1.

解析
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