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求函数f(x,y)=x2+y2-xy-y在由直线x+y=6、x轴及y轴所围成的封闭区域D上的最大值和最小值。
求函数f(x,y)=x2+y2-xy-y在由直线x+y=6、x轴及y轴所围成的封闭区域D上的最大值和最小值。
admin
2019-01-25
78
问题
求函数f(x,y)=x
2
+y
2
-xy-y在由直线x+y=6、x轴及y轴所围成的封闭区域D上的最大值和最小值。
选项
答案
因为函数在闭区域D上连续,所以必存在最大值和最小值。 首先,求f(x,y)=x
2
+y
2
-xy-y在D内部的极值: 解方程组[*] 解得区域D内部唯一的驻点为[*],因为A=f"
xx
=2,B=f"
xx
=-1,C=f"
yy
=2,可知A>0,AC-B
2
=3>0,因此[*]为极小值点。此时函数值为[*]。 其次,求f(x,y)=x
2
+y
2
-xy-y在D的边界上的极值: 边界上的极值属于条件极值,在x+y=6的条件下,拉格朗日函数为 F(x,y,λ)=x
2
+y
2
-xy-y+λ(x+y-6), 解方程组[*] 得可能的极值点为[*],此时函数值为[*]。 在区域下边界y=0(O≤x≤6)上,函数f(x,0)=x
2
最小值为0,最大值为36;在区域左边界x=0(0≤y≤6)上,函数f(0,y)=y
2
-y最小值为[*],最大值为30。 综上所述,函数f(x,y)=x
2
+y
2
-xy-y在区域D上的最小值为[*],最大值为36。
解析
本题考查二元函数的最值。该题先分成两部分求极值,再比较各极值得出最值。在区域内部,先求出驻点,利用二元函数极值的充分条件判断驻点是否为极值;区域边界上的极值属于条件极值,利用拉格朗日乘数法求出各边界的极值。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/QhP4777K
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考研数学三
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