2. 考研
  3. 已知A是三阶实对称矩阵，满足A4+ 2A3+A2+2A=0，且秩r（A）=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r（A+E）。

已知A是三阶实对称矩阵，满足A4+ 2A3+A2+2A=0，且秩r（A）=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r（A+E）。

admin2017-01-21  60
问题 已知A是三阶实对称矩阵，满足A4+ 2A3+A2+2A=0，且秩r（A）=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r（A+E）。
选项
答案设λ是矩阵A的任一特征值，α（α≠0）是属于特征值λ的特征向量，则Aα=λα，于是 Anα=λnα。用α右乘A4+ 2A3+A2+ 2A=D，得（λ4+ 2λ3+ λ2+ 2λ）α=0。 因为特征向量α≠0，故λ4+2λ3 +λ2+2λ=λ（λ+2） （λ2+1）=0。由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵A的特征值是0或—2。 由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩r（A）=r（Λ）=2，所以A的特征值是0，—2，—2。 因A—Λ，则有A+E～Λ+E=[*]所以r（A+E）=r（Λ+E）=3。
解析
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考研数学三

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