已知A是三阶实对称矩阵，满足A4+ 2A3+A2+2A=0，且秩r（A）=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r（A+E）。

admin2017-01-21 44

问题已知A是三阶实对称矩阵，满足A⁴+ 2A³+A²+2A=0，且秩r（A）=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r（A+E）。

选项

答案设λ是矩阵A的任一特征值，α（α≠0）是属于特征值λ的特征向量，则Aα=λα，于是 Aⁿα=λⁿα。用α右乘A⁴+ 2A³+A²+ 2A=D，得（λ⁴+ 2λ³+ λ²+ 2λ）α=0。因为特征向量α≠0，故λ⁴+2λ³ +λ²+2λ=λ（λ+2）（λ²+1）=0。由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵A的特征值是0或—2。由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩r（A）=r（Λ）=2，所以A的特征值是0，—2，—2。因A—Λ，则有A+E～Λ+E=[*]所以r（A+E）=r（Λ+E）=3。

解析

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