2. 考研
  3. 已知3阶矩阵A与3维列向量x，使x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x，令P=(x，Ax，A2X) (1)求3阶矩阵B，使A=PBP-1；(2)求｜A+E｜的值．

已知3阶矩阵A与3维列向量x，使x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x，令P=(x，Ax，A2X) (1)求3阶矩阵B，使A=PBP-1；(2)求｜A+E｜的值．

admin2017-07-10  53
问题 已知3阶矩阵A与3维列向量x，使x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x，令P=(x，Ax，A2X)
(1)求3阶矩阵B，使A=PBP-1；(2)求｜A+E｜的值．
选项
答案(1)设[*]则由AP=PB得[*]上式可写为 Ax=a1x+b1Ax+c1A2x， (1) A2x=a2x+b2Ax+c2A2x， (2)A3x=a3x+b3Ax+c3A2x． (3) 将A3x=3Ax一2A2x代入(3)式得3Ax-2A2x=a3x+b3Ax+c3A2x． (4) 整理得 a1x+(b1-1)Ax+c1A2x=0， a2x+b2Ax+(c2—1)A2x=0， a3x+(b3-3)Ax+(c3+2)A2x=0． 由于x，Ax，A2x线性无关，故 a1=c1=0，b1=1； a2=b2=0，c2=1； a3=0，b3=3，x3=-2． 从而[*](2)由(1)知A与B相似，故A+E与B+E也相似，从而[*]
解析 本题是向量与矩阵的综合题，主要考查向量组的线性相关性．
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考研数学二

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