已知3阶矩阵A与3维列向量x,使x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x=3Ax一2A2x,令P=(x,Ax,A2X) (1)求3阶矩阵B,使A=PBP-1;(2)求|A+E|的值.

admin2017-07-10  40

问题 已知3阶矩阵A与3维列向量x,使x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x=3Ax一2A2x,令P=(x,Ax,A2X)
(1)求3阶矩阵B,使A=PBP-1;(2)求|A+E|的值.

选项

答案(1)设[*]则由AP=PB得[*]上式可写为 Ax=a1x+b1Ax+c1A2x, (1) A2x=a2x+b2Ax+c2A2x, (2)A3x=a3x+b3Ax+c3A2x. (3) 将A3x=3Ax一2A2x代入(3)式得3Ax-2A2x=a3x+b3Ax+c3A2x. (4) 整理得 a1x+(b1-1)Ax+c1A2x=0, a2x+b2Ax+(c2—1)A2x=0, a3x+(b3-3)Ax+(c3+2)A2x=0. 由于x,Ax,A2x线性无关,故 a1=c1=0,b1=1; a2=b2=0,c2=1; a3=0,b3=3,x3=-2. 从而[*](2)由(1)知A与B相似,故A+E与B+E也相似,从而[*]

解析 本题是向量与矩阵的综合题,主要考查向量组的线性相关性.
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