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(1997年试题,三(5))已知y1=xex+e2x,y2=xex+e-x,y3=xex+e2x一e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程.
(1997年试题,三(5))已知y1=xex+e2x,y2=xex+e-x,y3=xex+e2x一e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程.
admin
2013-12-18
132
问题
(1997年试题,三(5))已知y
1
=xe
x
+e
2x
,y
2
=xe
x
+e
-x
,y
3
=xe
x
+e
2x
一e
-x
是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程.
选项
答案
本题考查线性非齐次方程解的性质,由题设,y
1
一y
3
=e
-x
是对应齐次方程的解,y
1
一y
2
=e
2x
—e
-x
也是对应齐次方程的解,从而e
-x
+(e
2x
一e
-x
)也是对应齐次方程的解,因此e
-x
e
2x
是齐次方程的解,此外,xe
x
是非齐次方程的解.由e
-x
与e
2x
可判断出齐次方程两个特征值[*],λ
2
=2,从而特征方程为(λ+1)(λ一2)=0,即λ
2
一λ一2=0,因此齐次方程为y
’’
一y
’
一2y=0,将xe
x
代入该齐次方程,得e
x
(1—2x),综上可知所求非齐次微分方程为y
’’
一y
’
一2y=e
x
(1—2x)
解析
对于二阶常系数线性齐次微分方程y
’’
+py
’
+gy=0,函数Ae
ex
是其解的充要条件为λ=α为其特征方程λ
2
+pλ+q=0的根;函数Ae
ax
sinβx,βe
ax
cosβ,或e
αx
(Asinβx+Bc0sβx)为其解的充要条件为λ=α±β为其特征方程λ
2
+pλ+q=0的根.对于本题可先求齐次微分方程的解,再求对应的非齐次微分方程的特解.
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考研数学二
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