(1997年试题，三(5))已知y1=xex+e2x，y2=xex+e-x，y3=xex+e2x一e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．

admin2013-12-18 132

问题 (1997年试题，三(5))已知y₁=xe^x+e^2x，y₂=xe^x+e^-x，y₃=xe^x+e^2x一e^-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．

选项

答案本题考查线性非齐次方程解的性质，由题设，y₁一y₃=e^-x是对应齐次方程的解，y₁一y₂=e^2x—e^-x也是对应齐次方程的解，从而e^-x+(e^2x一e^-x)也是对应齐次方程的解，因此e^-xe^2x是齐次方程的解，此外,xe^x是非齐次方程的解．由e^-x与e^2x可判断出齐次方程两个特征值[*]，λ₂=2，从而特征方程为(λ+1)(λ一2)=0，即λ²一λ一2=0，因此齐次方程为y^’’一y^’一2y=0，将xe^x代入该齐次方程，得e^x(1—2x)，综上可知所求非齐次微分方程为y^’’一y^’一2y=e^x(1—2x)

解析对于二阶常系数线性齐次微分方程y^’’+py^’+gy=0，函数Ae^ex是其解的充要条件为λ=α为其特征方程λ²+pλ+q=0的根；函数Ae^axsinβx，βe^axcosβ，或e^αx(Asinβx+Bc0sβx)为其解的充要条件为λ=α±β为其特征方程λ²+pλ+q=0的根．对于本题可先求齐次微分方程的解，再求对应的非齐次微分方程的特解．

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考研数学二

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[2013年]设函数z=z(x，y)由方程(z+y)x=xy确定，则

(2011年)设二维随机变量(X，Y)服从区域G上的均匀分布，其中G是由x-y=0，x+y=2与y=0所围成的区域。(Ⅰ)求边缘概率密度fX(x)；(Ⅱ)求条件概率密度fX｜Y(x｜y)。

设α为n维单位向量，E为n阶单位矩阵，则()

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[2009年]幂级数的收敛半径为__________．

[2006年]设非齐次线性微分方程y’+p(x)y=q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，c为任意常数，则该方程的通解是()．

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