设A、B均为n阶实对称矩阵，且A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，其中a，b均为实常数，证明：矩阵A+B的特征值全大于a+b．

admin2017-07-26 38

问题设A、B均为n阶实对称矩阵，且A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，其中a，b均为实常数，证明：矩阵A+B的特征值全大于a+b．

选项

答案设λ为A+B的任一特征值，则有x≠0，使(A+B)x=λx．由此可得 [(A一aE)+(B一bE)]x=[λ一(a+b)]x，即λ一(a+b)为实对称矩阵(A—aE)+(B一bE)的特征值．设μ为A一aE的任一特征值，则有y≠0，使 (A—aE)y=μy，即Ay=(μ+a)y，故μ+a为A的特征值，由题设条件，有μ+a>a，故μ＞0，即A一aE的任一特征值都大于零，故实对称矩阵A一aE为正定矩阵．同理可证实对称矩阵B一bE为正定矩阵，由于同阶正定矩阵之和为正定矩阵，故矩阵 (A—aE)+(B—bE)为正定矩阵，因而它的特征值全大于零，从而有 λ一(a+b)＞0，于是得A+B的任一特征值λ都大于a+b．

解析

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考研数学三

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