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设A、B均为n阶实对称矩阵,且A的特征值全大于a,B的特征值全大于b,其中a,b均为实常数,证明:矩阵A+B的特征值全大于a+b.
设A、B均为n阶实对称矩阵,且A的特征值全大于a,B的特征值全大于b,其中a,b均为实常数,证明:矩阵A+B的特征值全大于a+b.
admin
2017-07-26
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问题
设A、B均为n阶实对称矩阵,且A的特征值全大于a,B的特征值全大于b,其中a,b均为实常数,证明:矩阵A+B的特征值全大于a+b.
选项
答案
设λ为A+B的任一特征值,则有x≠0,使(A+B)x=λx.由此可得 [(A一aE)+(B一bE)]x=[λ一(a+b)]x, 即λ一(a+b)为实对称矩阵(A—aE)+(B一bE)的特征值. 设μ为A一aE的任一特征值,则有y≠0,使 (A—aE)y=μy, 即Ay=(μ+a)y, 故μ+a为A的特征值,由题设条件,有μ+a>a,故μ>0,即A一aE的任一特征值都大于零,故实对称矩阵A一aE为正定矩阵.同理可证实对称矩阵B一bE为正定矩阵,由于同阶正定矩阵之和为正定矩阵,故矩阵 (A—aE)+(B—bE)为正定矩阵,因而它的特征值全大于零,从而有 λ一(a+b)>0, 于是得A+B的任一特征值λ都大于a+b.
解析
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考研数学三
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