2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=∫01f(x)dx=0，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)+f(ξ)=0．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=∫01f(x)dx=0，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)+f(ξ)=0．

admin2022-10-12  60
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=∫01f(x)dx=0，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)+f(ξ)=0．
选项
答案令F(x)=∫0xf(t)dt，F’(x)=f(x)，F(0)=F(1)=0，由罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得F’(c)=0，即f(c)=0．令φ(x)=exf(x)，φ(0)=φ(c)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=ex[f’(x)+f(x)]且ex≠0，故f’(ξ)+f(ξ)=0．
解析
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考研数学三

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