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设函数f(x)二阶连续可导,f(0)=1且有f’(x)+3f’(t)dt+2xf(tx)dt+e-x=0,求f’(x).
设函数f(x)二阶连续可导,f(0)=1且有f’(x)+3f’(t)dt+2xf(tx)dt+e-x=0,求f’(x).
admin
2020-03-10
69
问题
设函数f(x)二阶连续可导,f(0)=1且有f’(x)+3
f’(t)dt+2x
f(tx)dt+e
-x
=0,求f’(x).
选项
答案
因为x[*]f(tx)dt=[*]f(u)du,所以f’(x)+3[*]f’(t)dt+2x[*]f(tx)dt+e
-x
=0可化为 f’(x)+3[*]f’(t)dt+2[*]f(t)dt+e
-x
=0, 两边对x求导得f”(x)+3f’(x)+2f(x)=e
-x
, 由λ
2
+3λ+2=0得λ
1
=-1,λ
2
=-2, 则方程f”(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解为C
1
e
-x
+C
2
e
-2x
. 令f”(x)+3f’(x)+2f(x)=e
-x
的一个特解为y
0
=axe
-x
,代入得a=1, 则原方程的通解为f(x)=C
1
e
-x
+C
2
e
-2x
+xe
-x
. 由f(0)=1,f’(0)=-1得C
1
=0,C
2
=1,故原方程的解为f(x)=e
-2x
+xe
-x
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/YkD4777K
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考研数学三
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