设函数y(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图形在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行,则y(x)的极大值与极小值之差为

admin2020-03-24  36

问题 设函数y(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图形在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行,则y(x)的极大值与极小值之差为

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案D

解析 先确定三次函数y(x)表达式中的常数a,b,c.
    由y’(x)=3x2+6ax+3b及已知x=2是极值点,可得
                  y’(2)=3(4+4a+b)=0.                  ①
    又由在x=1处的斜率为y’(1)=-3,得3(1+2a+b)=-3.    ②
    由①、②可得a=-1,b=0.
    故三次函数y(x)=x3-3x2+c.
    由y’(x)=3x(x-2)得函数y(x)有驻点x=0与x=2.又由y"(x)=6x-6知y"(0)<0与y"(2)>0.故y(x)的极大值为y(0)=c,极小值为y(2)=一4+c.
    于是y(0)-y(2)=4.故应选D.
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