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设函数y(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图形在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行,则y(x)的极大值与极小值之差为
设函数y(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图形在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行,则y(x)的极大值与极小值之差为
admin
2020-03-24
54
问题
设函数y(x)=x
3
+3ax
2
+3bx+c在x=2处有极值,其图形在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行,则y(x)的极大值与极小值之差为
选项
A、1
B、2
C、3
D、4
答案
D
解析
先确定三次函数y(x)表达式中的常数a,b,c.
由y’(x)=3x
2
+6ax+3b及已知x=2是极值点,可得
y’(2)=3(4+4a+b)=0. ①
又由在x=1处的斜率为y’(1)=-3,得3(1+2a+b)=-3. ②
由①、②可得a=-1,b=0.
故三次函数y(x)=x
3
-3x
2
+c.
由y’(x)=3x(x-2)得函数y(x)有驻点x=0与x=2.又由y"(x)=6x-6知y"(0)<0与y"(2)>0.故y(x)的极大值为y(0)=c,极小值为y(2)=一4+c.
于是y(0)-y(2)=4.故应选D.
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考研数学三
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