已知y1＝exsinx＋e2x与y2＝－exsinx＋e2x为某二阶常系数非齐次线性微分方程的特解，则该非齐次线性微分方程为_________________．

admin2021-03-16 55

问题已知y₁＝e^xsinx＋e^2x与y₂＝－e^xsinx＋e^2x为某二阶常系数非齐次线性微分方程的特解，则该非齐次线性微分方程为_________________．

选项

答案y"－2y’＋2y＝2e^2x．

解析设所求微分方程为
y"＋Py’＋qy＝f(x)，
因为y₀＝y₁－y₂＝2e^xsinx为y"＋py’＋qy＝0的特解，
所以特征方程λ²＋pλ＋q＝0的特征值为λ₁＝1＋i，λ₂＝1－i，
从而P＝－2，q＝(1＋i)(1－i)＝2；
显然y＝e^2x为非齐线性微分方程y"－2y’＋2y＝f(x)的特解，
则f(x)＝4e^2x－4e^2x＋2e^2x＝2e^2x，
故所求微分方程为y"－2y’＋2y＝2e^2x．

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考研数学二

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