2. 考研
  3. 设齐次线性方程组其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．

设齐次线性方程组其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．

admin2017-04-11  71
问题 设齐次线性方程组其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．
选项
答案方程组的系数行列式[*] (1)当a≠b且a≠(1一n)b时，方程组仅有零解． (2)当a=b时，对系数矩阵A作初等行变换，有[*]原方程组的同解方程组为x1+x2+…+xn=0，其基础解系为α1=(一1，1，0，…，0)T，α2=(一1，0，1，…，0)T，…，αn-1=(一1，0，0，…，1)T，故方程组的全部解为x=k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1，其中k1，k2，…，kn-1为任意常数． (3)当a=(1一n)b时，对系数矩阵A作初等行变换，有[*]原方程组的同解方程组为[*]故方程组的全部解为x=k(1，1，…，1)T，其中k为任意常数．
解析 本题主要考查齐次线性方程组是否有非零解的判定方法及用矩阵的初等行变换求解方程组的方法．设该方程组的系数矩阵为A，当r(A)=n时，Ax=0仅有零解；当r(A)＜n时，Ax=0有无穷多解．本题讨论a，b为何值时，r(A)=n或r(A)＜n．当r(A)＜n时，通常用初等行变换求解．
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考研数学二

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