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已知y1=xex+e2x,y2=xex+e-x,y3=xex+e2x－e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。
已知y1=xex+e2x,y2=xex+e-x,y3=xex+e2x－e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。
admin
2022-10-13
48
问题
已知y
1
=xe
x
+e
2x
,y
2
=xe
x
+e
-x
,y
3
=xe
x
+e
2x
－e
-x
是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。
选项
答案
解法一 由题设知，e
2x
与e
-x
是相应齐次方程两个线性无关的解，且xe
x
是非齐次方程的一个特解 故此方程是 y"－y’－2y=f(x) 将y=xe
x
代入上式得 f(x)=(xe
x
)"－(xe
x
)’－2xe
x
=2e
x
+xe
x
－e
x
－xe
x
－2xe
x
=e
x
－2xe
x
因此所求方程为y"－y’－2y=e
x
－2xe
x
解法二 由题设知，e
2x
与e
-x
是相应齐次方程两个线性无关的解，且xe
x
是非齐次方程的一个特解，故y=xe
x
+C
1
e
2x
+C
2
e
-x
是所求方程的解，由 y’=e
x
+xe
x
+2C
1
e
2x
－C
2
e
-x
y"=2e
x
+xe
x
+4C
1
e
2x
+C
2
e
-x
消去C
1
，C
2
得所求方程为y"－y’－2y=e
x
－2xe
x
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/QEC4777K
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考研数学三
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