已知y1=xex+e2x,y2=xex+e-x,y3=xex+e2x－e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。

admin2022-10-13 103

问题已知y₁=xe^x+e^2x,y₂=xe^x+e^-x,y₃=xe^x+e^2x－e^-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。

选项

答案解法一由题设知，e^2x与e^-x是相应齐次方程两个线性无关的解，且xe^x是非齐次方程的一个特解故此方程是 y"－y’－2y=f(x) 将y=xe^x代入上式得 f(x)=(xe^x)"－(xe^x)’－2xe^x=2e^x+xe^x－e^x－xe^x－2xe^x=e^x－2xe^x 因此所求方程为y"－y’－2y=e^x－2xe^x 解法二由题设知，e^2x与e^-x是相应齐次方程两个线性无关的解，且xe^x是非齐次方程的一个特解，故y=xe^x+C₁e^2x+C₂e^-x是所求方程的解，由 y’=e^x+xe^x+2C₁ e^2x－C₂e^-x y"=2e^x+xe^x+4C₁e^2x+C₂e^-x 消去C₁，C₂得所求方程为y"－y’－2y=e^x－2xe^x

解析

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考研数学三

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已知y1=xex+e2x,y2=xex+e-x,y3=xex+e2x－e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。

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