已知y1=xex+e2x,y2=xex+e-x,y3=xex+e2x－e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。

admin2022-10-13 80

问题已知y₁=xe^x+e^2x,y₂=xe^x+e^-x,y₃=xe^x+e^2x－e^-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。

选项

答案解法一由题设知，e^2x与e^-x是相应齐次方程两个线性无关的解，且xe^x是非齐次方程的一个特解故此方程是 y"－y’－2y=f(x) 将y=xe^x代入上式得 f(x)=(xe^x)"－(xe^x)’－2xe^x=2e^x+xe^x－e^x－xe^x－2xe^x=e^x－2xe^x 因此所求方程为y"－y’－2y=e^x－2xe^x 解法二由题设知，e^2x与e^-x是相应齐次方程两个线性无关的解，且xe^x是非齐次方程的一个特解，故y=xe^x+C₁e^2x+C₂e^-x是所求方程的解，由 y’=e^x+xe^x+2C₁ e^2x－C₂e^-x y"=2e^x+xe^x+4C₁e^2x+C₂e^-x 消去C₁，C₂得所求方程为y"－y’－2y=e^x－2xe^x

解析

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考研数学三

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已知y1=xex+e2x,y2=xex+e-x,y3=xex+e2x－e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。

考研数学三

设n维向量α1，α2，…，αs的秩为r，则下列命题正确的是

曲线的切线与X轴和Y轴围成一个图形，记切点的横坐标为a．试求切线方程和这个图形的面积．当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?

(Ⅰ)求曲线y=xe—x在点(1，)处的切线方程；(Ⅱ)求曲线y=∫0x(t一1)(t一2)dt上点(0，0)处的切线方程；(Ⅲ)设曲线y=x2+ax+b和2y=一1+xy3在点(1，一1)处相切，求常数a，b．

设且AX=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，求AX=0的通解．

设曲线y=bx一x2与x轴所围平面图形被曲线y=ax2(a＞0)分成面积相等的两部分，求a的值．

求下列微分方程的通解：(Ⅰ)(x-2)dy=[y+2(x-2)3]dx；(Ⅱ)(1+y2)dx=(arctany-x)dy；(Ⅲ)y’+2y=sinx；(Ⅳ)eyy’-=x2(Ⅴ)(Ⅵ)(x2-3y2)x+(3x2-y2)=0；

(1)设φ(x)在区间[0，1]上具有二阶连续的导数，且φ(0)=φ(1)=0．证明(2)设二元函数f(x，y)在区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}上具有连续的4阶导数，且并设在D的边界上f(x，y)≡0．证明

设有微分方程y’－2y=q(x)，其中试求在(－∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(－∞，1)和(1，+∞)内都满足微分方程，且满足条件y(0)=0．

设函数f（x）在[0，3]上连续，在（0，3）内存在二阶导数，且2f（0）=∫02f（x）dx=f（2）+f（3）。（Ⅰ）证明存在η∈（0，2），使f（η）=f（0）；（Ⅱ）证明存在ξ∈（0，3），使f"（ξ）=0。

设函数f(x，y)连续，且，其中D是一个封闭区域，由y＝x2和直线y＝1围成，求f(x，y)的表达式。

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