2. 考研
  3. 证明：当x≥0且n为自然数时∫0x(t一t2)sin2ntdt≤．

证明：当x≥0且n为自然数时∫0x(t一t2)sin2ntdt≤．

admin2019-08-06  48
问题 证明：当x≥0且n为自然数时∫0x(t一t2)sin2ntdt≤．
选项
答案令f(x)=∫0x(t—t2)sin2ntdt，则f’(x)=(x一x2)sin2nx．当0＜x＜1时，f’(x)＞0；当x＞1时，除x=kπ(k=1，2，3，…)时f’(x)=0外，均有f’(x)＜0，故f(x)在0≤x≤1单调上升，在x≥1单调减小，因此f(x)在[0，+∞)上取最大值f(1)．又当t≥0时，sint≤t，于是当x≥0时有 f(x)≤f(1)=∫01(t一t2)sin2ntdt≤∫01(t一t2)t2ndt =[*]。
解析
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考研数学三

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