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[2011年] 设向量组α1=[1,0,1]T,α2=[0,1,1]T,α3=[1,3,5]T不能由向量组β1=[1,1,1]T,β2=[1,2,3]T,β3=[3,4,a]T线性表示. 求a的值;
[2011年] 设向量组α1=[1,0,1]T,α2=[0,1,1]T,α3=[1,3,5]T不能由向量组β1=[1,1,1]T,β2=[1,2,3]T,β3=[3,4,a]T线性表示. 求a的值;
admin
2019-04-28
78
问题
[2011年] 设向量组α
1
=[1,0,1]
T
,α
2
=[0,1,1]
T
,α
3
=[1,3,5]
T
不能由向量组β
1
=[1,1,1]
T
,β
2
=[1,2,3]
T
,β
3
=[3,4,a]
T
线性表示.
求a的值;
选项
答案
解一 因α
1
,α
2
,α
3
不能用β
1
,β
2
,β
3
线性表示,故秩([α
1
,α
2
,α
3
])>秩([β
1
,β
2
,β
3
]),而|α
1
,α
2
,α
3
|=[*]=1≠0,故秩([α
1
,α
2
,α
3
])=3,秩([β
1
,β
2
,β
3
])<3,所以 [*] 解二 4个三维向量β
1
,β
2
,β
3
,α
i
(i=1,2,3)必线性相关.若β
1
,β
2
,β
3
线性无关,则α
i
必可表示成β
1
,β
2
,β
3
的线性组合.这与题设矛盾,故β
1
,β
2
,β
3
线性相关.于是|β
1
,β
2
,β
3
|=a-5=0,即a=5. 解三 将下列向量组用初等行变换化为行阶梯形矩阵: [*] 易知秩([α
1
,α
2
,α
3
])=3.因α
1
,α
2
,α
3
不能由β
1
,β
2
,β
3
线性表出,故秩([β
1
,β
2
,β
3
])<3.因而 [*] 所以a=5.
解析
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考研数学三
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