[2011年] 设向量组α1=[1,0,1]T,α2=[0,1,1]T,α3=[1,3,5]T不能由向量组β1=[1,1,1]T,β2=[1,2,3]T,β3=[3,4,a]T线性表示. 求a的值;

admin2019-04-28  38

问题 [2011年]  设向量组α1=[1,0,1]T,α2=[0,1,1]T,α3=[1,3,5]T不能由向量组β1=[1,1,1]T,β2=[1,2,3]T,β3=[3,4,a]T线性表示.
求a的值;

选项

答案解一 因α1,α2,α3不能用β1,β2,β3线性表示,故秩([α1,α2,α3])>秩([β1,β2,β3]),而|α1,α2,α3|=[*]=1≠0,故秩([α1,α2,α3])=3,秩([β1,β2,β3])<3,所以 [*] 解二 4个三维向量β1,β2,β3,αi(i=1,2,3)必线性相关.若β1,β2,β3线性无关,则αi必可表示成β1,β2,β3的线性组合.这与题设矛盾,故β1,β2,β3线性相关.于是|β1,β2,β3|=a-5=0,即a=5. 解三 将下列向量组用初等行变换化为行阶梯形矩阵: [*] 易知秩([α1,α2,α3])=3.因α1,α2,α3不能由β1,β2,β3线性表出,故秩([β1,β2,β3])<3.因而 [*] 所以a=5.

解析
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