n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

admin2019-05-15 27

问题 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

选项 A、二次型χ^TAχ的负惯性指数为零
B、存在可逆矩阵P使P^-1AP＝E
C、存在n阶矩阵C使A＝C^-1C
D、A的伴随矩阵A^*与E合同

答案D

解析选项A是必要不充分条件．这是因为r(f)＝p＋q≤n，当q＝0时，有r(f)＝p≤n．此时有可能p＜n，故二次型χ^TAχ不一定是正定二次型．因此矩阵A不一定是正定矩阵．例如f(χ₁，χ₂，χ₃)＝χ₁²5χ₃²
选项B是充分不必要条件．这是因为P^-1AP＝E表示A与E相似，即A的特征值全是1，此时A是正定的．但只要A的特征值全大于零就可保证A正定，因此特征值全是1是不必要的．
选项C中的矩阵C没有可逆的条件，因此对于A＝C^TC不能说A与E合同，也就没有A是正定矩阵的结论．例如

显然矩阵不正定．
关于选项D，由于
A正定

A^-1正定

A^*正定
A^*正定

A^*与E合同
所以D是充分必要条件．

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考研数学一

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