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“对任意的ε∈(0,1),总存在正整数N,当n≥N时,恒有∣xn一a∣≤2ε”是数列{xn)收敛于a的( ).
“对任意的ε∈(0,1),总存在正整数N,当n≥N时,恒有∣xn一a∣≤2ε”是数列{xn)收敛于a的( ).
admin
2021-01-19
66
问题
“对任意的ε∈(0,1),总存在正整数N,当n≥N时,恒有∣x
n
一a∣≤2ε”是数列{x
n
)收敛于a的( ).
选项
A、充分条件,但非必要条件
B、必要条件,但非充分条件
C、充分必要条件
D、既非充分条件,又非必要条件
答案
C
解析
将题中数列{x
n
}收敛于a的条件与原定义中的条件相比较,看其是否等价.
仅(C)入选.将题中的条件与上述数列极限定义比较知,“对任意的ε∈(0,1)”与“对任给ε>0”是相当的,而n≥N比定义中多了一个等号,显然由于定义中的N并不唯一,多一个等号也是可以的.事实上,若取N
0
=N一1,则n>N
0
,即为n≥N.至于∣x
n
一a∣≤2ε,这里既多了一个等号,还乘以2.但由于ε>0是任给的,满足ε=ε
0
/3的ε
0
>0仍然是任给的,这时就有
∣x
n
一a∣≤2ε=(2/3)ε
0
)<ε
0
.
这与∣x
n
一a∣<ε的原定义是等价的.综上所述,所给条件是数列{x
n
}收敛于a的充要条件.
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考研数学二
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