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  3. (99年)设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

(99年)设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

admin2017-04-20  36
问题 (99年)设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．
选项
答案必要性：设BTAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x≠0，有xT(BTAB)x＞0，即 (Bx)TA(Bx)＞0 于是Bx≠0．因此，Bx=0只有零解，从而有r(B)=n． 充分性：因(BTAB)T=BTATB=BTAB，故BTAB为实对称矩阵．若r(B)=n，则齐次线性方程组Bx=0只
解析
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考研数学一

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