(99年)设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

admin2017-04-20 26

问题 (99年)设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵．试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

选项

答案必要性：设B^TAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x≠0，有x^T(B^TAB)x＞0，即 (Bx)^TA(Bx)＞0 于是Bx≠0．因此，Bx=0只有零解，从而有r(B)=n．充分性：因(B^TAB)^T=B^TA^TB=B^TAB，故B^TAB为实对称矩阵．若r(B)=n，则齐次线性方程组Bx=0只

解析

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