设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数。试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系。

admin2017-01-21 60

问题设α₁，α₂，…，α_s为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β₁=t₁α₁+t₂α₂，β₂=t₁α₂+t₂α₃，…，β_s=t₁α_s+t₂α₁，其中t₁，t₂为实常数。试问t₁，t₂满足什么条件时，β₁，β₂，…，β_s也为Ax=0的一个基础解系。

选项

答案因为β_i（i=1，2，…，s）是α₁，α₂，…，α_s的线性组合，且α₁，α₂，…，α_s是Ax=0的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知β_i（i=1，2，…，s）均为Ax=0的解。从α₁，α₂，…，α_s是Ax=0的基础解系知s=n—r（A）。以下分析β₁，β₂，…，β_s线性无关的条件：设k₁β₁+k₂β₂+…+k_sβ_s=0，即（t₁k₁+t₂k₁）α₁+（t₂k₁+t₁k₂）α₂+（t₂k₂+t₁k₃）α₃+…+（t₂k_s—1+t₁k_s）α_s=0，由于α₁，α₂，…，α_s线性无关，所以 [*] 又因系数矩阵的行列式 [*]=t₁^s+（一1）^s+1t₂^s，当t₁^s+（—1）^s+1t₂^s≠0时，方程组（*）只有零解k₁=k₂=…=k_s=0。因此当s为偶数且t₁≠± t₂，或当s为奇数且t₁≠—t₂时，β₁，β₂，…，β_s线性无关。

解析

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考研数学三

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设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数。试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系。

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