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设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数。试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系。
设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数。试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系。
admin
2017-01-21
34
问题
设α
1
，α
2
，…，α
s
为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β
1
=t
1
α
1
+t
2
α
2
，β
2
=t
1
α
2
+t
2
α
3
，…，β
s
=t
1
α
s
+t
2
α
1
，其中t
1
，t
2
为实常数。试问t
1
，t
2
满足什么条件时，β
1
，β
2
，…，β
s
也为Ax=0的一个基础解系。
选项
答案
因为β
i
（i=1，2，…，s）是α
1
，α
2
，…，α
s
的线性组合，且α
1
，α
2
，…，α
s
是Ax=0的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知β
i
（i=1，2，…，s）均为Ax=0的解。 从α
1
，α
2
，…，α
s
是Ax=0的基础解系知s=n—r（A）。 以下分析β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关的条件： 设k
1
β
1
+k
2
β
2
+…+k
s
β
s
=0，即 （t
1
k
1
+t
2
k
1
）α
1
+（t
2
k
1
+t
1
k
2
）α
2
+（t
2
k
2
+t
1
k
3
）α
3
+…+（t
2
k
s—1
+t
1
k
s
）α
s
=0， 由于α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，所以 [*] 又因系数矩阵的行列式 [*]=t
1
s
+（一1）
s+1
t
2
s
， 当t
1
s
+（—1）
s+1
t
2
s
≠0时，方程组（*）只有零解k
1
=k
2
=…=k
s
=0。因此当s为偶数且t
1
≠± t
2
，或当s为奇数且t
1
≠—t
2
时，β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关。
解析
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0
考研数学三
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