设排列x1x2…xn-1xn的逆序数为k，则xnxn-1…x2x1的逆序数是多少?

admin2020-09-29 35

问题设排列x₁x₂…x_n-1x_n的逆序数为k，则x_nx_n-1…x₂x₁的逆序数是多少?

选项

答案排列x₁x₂…x_n-1x_n中，x₁后面比x₁小的数的个数为a₁，则x₁后面比x₁大的数的个数为n一1一a₁，所以排列为x_nx_n-1…x₂x₁中，x₁前面比x₁大的数的个数为n一1一a₁；排列为x₁x₂…x_n中，x₂后面比x₂小的数的个数为a₂，则x₂后面比x₂大的数的个数为n一2一a₂，所以排列x_nx_n-1…x₂x₁中x₂前面比x₂大的数的个数为n一2一a₂;…；排列x₁x₂…x_n-1x_n中，x_n-1后面比x_n-1小的数的个数为a_n-1，则x_n-1后面比x_n-1大的数的个数为1一a_n-1，所以排列x_nx_n-1…x₂x₁中，x_n-1前面比x_n-1大的数的个数为1一a_n-1．所以τ(x_nx_n-1…x₂x₁)=x₁前面比x₁大的数的个数+x₂前面比x₂大的数的个数+…+x_n-1前面比x_n-1大的数的个数 =(n一1一a₁)+(n一2一a₂)+…+(1一a_n-1) =(1+…+n一1)一(a₁+…+a_n-1)，由已知可得a₁+…+a_n-1=k，故τ(x_nx_n-1…x₂x₁)=[*]．

解析

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考研数学一

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