2. 考研
  3. 设A是各行元素和均为零的三阶矩阵，α，β是线性无关的三维列向量，并满足Aα＝3β，Aβ＝3α。 (Ⅰ)证明矩阵A能相似于对角矩阵； (Ⅱ)若α＝(0，﹣1，1)T，β＝(1，0，﹣1)T，求矩阵A。

设A是各行元素和均为零的三阶矩阵，α，β是线性无关的三维列向量，并满足Aα＝3β，Aβ＝3α。 (Ⅰ)证明矩阵A能相似于对角矩阵； (Ⅱ)若α＝(0，﹣1，1)T，β＝(1，0，﹣1)T，求矩阵A。

admin2019-12-06  59
问题 设A是各行元素和均为零的三阶矩阵，α，β是线性无关的三维列向量，并满足Aα＝3β，Aβ＝3α。
(Ⅰ)证明矩阵A能相似于对角矩阵；
(Ⅱ)若α＝(0，﹣1，1)T，β＝(1，0，﹣1)T，求矩阵A。
选项
答案(Ⅰ)因为A的各行元素和为零，从而λ＝0为A的一个特征值，并且γ＝(1，1，1)T为A属于λ＝0的特征向量。 另一方面，又因为Aα＝3β，Aβ＝3α，所以 A(α＋β)＝3(α＋β)，A(α－β)＝﹣3(α－β)， λ＝3和λ＝﹣3为A的两个特征值，并且α＋β和α－β为A属于λ＝3，﹣3的特征向量，可见A有三个不同的特征值，所以A能相似于对角矩阵。 (Ⅱ)A的三个特征向量为 γ＝(1，1，1)T，α＋β＝(1，﹣1，0)T，α－β＝(﹣1，﹣1，2)T， 令P＝(γ，α＋β，α－β)，[*]， 则P﹣1AP＝[*]，所以 A＝P[*]P﹣1＝[*]。
解析
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考研数学二

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